Pons Asinorum: El aprendizaje de la geometría en tiempos de PISA

Os invito a la lectura del artículo sobre el “Pons asinorum” de la web “Cuaderno de cultura científica”

http://culturacientifica.com/2013/06/05/pons-asinorum/

“Pons asinorum” (El puente de los asnos) fue el nombre que se dio en la Edad Media a la proposición 5 de los Elementos de Euclides, el también llamado “teorema del triángulo isósceles”, el que afirma que un triángulo con dos lados iguales tiene también dos ángulos iguales.

La demostración es de una gran belleza y no excesiva dificultad, todo consiste en añadir algunos puntos nuevos a la figura para poder aplicar el teorema (o axioma según la versión) “Lado-Ángulo-Lado” de congruencia de triángulos. En el artículo aparece una bellísima demostración del siglo XIX enriquecida con elementos visuales:

Se le dio el curioso nombre de “Puente de los asnos” porque de alguna manera era el primer reto que el estudiante de geometría tenía que superar una vez asimilados los elementos básicos (axiomas, elementos comunes y primeros teoremas). Un reto que una parte de los estudiantes eran incapaces de superar. Es más, algunos estudiantes cuestionaban el sentido de tener que demostrar algo que era evidente para sus ojos. Sólo una parte de los estudiantes participaban del juego propuesto, del gozo de desarrollar o de seguir la cadena de afirmaciones lógicas que llevara desde los axiomas hasta el resultado propuesto. Sólo los estudiantes que aceptaban el reto y las reglas del juego de la geometría superaban el reto del “Pons asinorum” y podían continuar con los estudios en esta materia. Para el resto de estudiantes este punto suponía el final del camino, igual que aquellos asnos que después de andar mucho por el camino, se negaban en redondo a cruzar el puente.

La expresión “Puente de los asnos” ha quedado como sinónimo de “dificultad que quita el ánimo para pasar adelante”, para referirse a cualquier prueba que exige una motivación y un esfuerzo significativo por parte del estudiante, de unos estudios basados en el esfuerzo y el espíritu de sacrificio por parte del estudiante.

La geometría, y la matemática en general es para el estudiante un camino lleno de puentes, de retos, de esfuerzo. Pretender quitar los puentes del camino es como pretender hacer natación en una piscina vacía por miedo a ahogarse.

Y los profesores de matemáticas podemos (y debemos) llevar a los estudiantes hasta el “Pons asinorum” de muchas formas, podemos presentar al estudiante los retos, los problemas, de una forma progresiva para minimizar en la medida de lo posible el miedo natural que generan, es de hecho nuestro trabajo. Acompañar al estudiante en su camino hasta el puente y en el puente mismo, en los sucesivos puentes con los que se encontrará en su estudio de las matemáticas. Lo que no podemos hacer, de ninguna manera, es eludir los puentes, es esconder los puentes, ocultar los puentes a los estudiantes, lo que no podemos hacer es negar que las matemáticas se construyen con teoremas y problemas, con tesón y espíritu de sacrificio.

Si ocultamos los puentes para evitar que parte de los alumnos experimenten el no pasarlos, impedimos el derecho que tienen todos los estudiantes a intentarlo.

Me llegó hace unas semanas el documento

ORIENTACIONS PRÀCTIQUES PER A LA MILLORA DE LA GEOMETRIA
Anton Aubanell i Pou. Direcció General d’Educació Secundària Obligatòria i Batxillerat

http://www.xtec.cat/web/curriculum/eso/orientacionsgeometria

Los malos resultados de los estudiantes catalanes en las pruebas PISA, y en particular los malos resultados en geometría obtenidos en la última prueba diagnóstica de 4º de ESO llevan a las autoridades educativas, como es su obligación, a promover una mejora en el aprendizaje de la geometría en los institutos. Y este documento marca las directrices.

En este documento, así como San Francisco de Asís invitaba a encontrar a Dios entre los animalillos y las florecillas silvestres, así Anton Aubanell, el máximo gurú de la didáctica de las matemáticas en Catalunya exhorta a los profesores y profesoras a encontrar la geometría en la vida cotidiana, en el material manipulable, en los contextos reales, los mapas a escala, encontrar a Pi con un trozo de cuerda y un rollo de cartón, el cilindro en una caja de galletas Maria... La geometría al alcance de todos a lo largo de un bonito camino de rosas, lejos de los pedregosos caminos de la geometría axiomática, llenos de dificultosos puentes.

La demostración, la fundamentación y desarrollo lógico de la geometría en este desarrollo se oculta, se esconde como algo casi perjudicial para el alumno:

[...] En alguns casos, la demostració no caldrà o no serà possible amb les eines conceptuals de què es disposa o no millorarà la comprensió de la idea i ens quedarem amb la constatació experimental.[...]

En algunos casos la demostración no será necesaria o no será posible con las herramientas conceptuales que disponemos o no mejorará la comprensión de la idea y nos quedaremos con la constatación experimental.

¿en qué casos la demostración no es necesaria? ¿en qué casos no mejorará la comprensión de la idea? ¿quienes somos nosotros los matemáticos para entrar en la metafísica de qué es la idea, o “la comprensión de la idea”?

Estamos ante un desarrollo en el que, por ejemplo, brilla por su ausencia las tres caracterizaciones de la congruencia de triángulos (“Lado-Ángulo-Lado, Lado-Lado-Lado y Ángulo-Lado-Ángulo) ¿Realmente pensamos que podemos evitarlas, eludirlas, esconderlas al alumnado? y en última instancia ¿tenemos derecho a hacerlo?

Detrás de todo esto se encuentra la supeditación de la educación matemática a las “competencias básicas” y en última instancia a las exigencias de las pruebas PISA.

[...]Tant en els resultats de les proves PISA 2012 com en els de les proves PISA 2003 (dos ocasions en què es va avaluar prioritàriament la competència matemàtica) la categoria d’espai i forma continua presentant les pitjors puntuacions.[...]

Tanto en los resultados de las pruebas PISA 2012 como en los de las pruebas PISA 2003 (dos ocasiones en las que se evaluaron prioritariamente la competencia matemática) la categoría de espacio y forma continúa presentando las peores puntuaciones

Las pruebas PISA se han convertido en omnipotentes y omnipresentes. Son una especie de Troika educativa internacional. Detrás de estas pruebas está la OECD, con sede en París, una organización internacional de carácter económico, que no cultural. Aquí nadie engaña a nadie. Estamos hablando de una institución para la que el sistema educativo debe estar supeditado al sistema económico. Economía, economía y más economía.

En este sentido os invito a leer el documento “From Yardstick to Hegemony. How the OECD uses PISA to enforce a new concept of education”

http://bildung-wissen.eu/wp-content/uploads/2014/05/Graupe_Krautz-From-Yardstick-to-Hegemony.pdf
 
en el que se pone en cuestión el terrible efecto que las pruebas PISA están produciendo en los sistemas educativos nacionales en todo el mundo. En este documento podemos encontrar citas a las directrices educativas de la OECD del calibre de:

[...]the OECD has since 1961 considered education to be an „economic investment” in humans, where teachers - as the “production factor” - and students - as the “raw material“ - play a decisive role[...]

Tal vez la OECD tenga como misión convertirnos a todos en el “homo economicus” al que se refiere Noam Chomsky:

http://www.livingindialogue.com/noam-chomsky-bubble-tests-yield-meaningless-rankings/

Este verano los europeos estamos desayunando, comiendo y cenando con economía. Economía y más economía, Tal vez en el norte de Europa la palabra economía lleve el signo “+” delante, y signifique riqueza, pero aquí, en el sur de Europa, economía se escribe con el signo “-“ delante, porque es deuda, deuda y más deuda, es decir, pobreza. Por lo que dicen los telediarios, Grecia va muy mal porque no puede pagar ya su deuda, ni puede endeudarse aún más, mientras que España vamos bien porque vamos pagando nuestra deuda y podemos ir endeudándonos más todavía. (de la deuda de mi país, Catalunya, que llega ya a los 60000 millones de euros, curiosamente no se habla ni una palabra). Es curioso que, con tanto experto en economía como hay, la deuda (es decir la pobreza) no para de crecer dia a día, igual que pasa con los expertos en educación.

Recientemente el ministro de finanzas alemán, Wolfgang Schäuble hizo una simpática alusión al nombre de pila del nuevo ministro griego de economía Tsakalotos, Euclides Tsakalotos, pues es indudable que Schäuble, más allá de ser un gran experto en economía, es una persona culta. Me pregunto si Schäuble cruzó en algún momento el “Pons asinorum”. Yo creo que sí.